数学史上的三大危机是无理数理论、微积分理论和罗素悖论，数学史上的三大猜想是费马定理、四色定理和哥德巴赫猜想。这三个危机和猜想间接地推动了整个数学理论的进步，许多数学家做出了巨大的贡献，导致了今天数学的辉煌。
首先，无理数理论
众所周知，世界上所有的实数都可以分为有理数和无理数。然而，在开始的时候，无理数并没有被发现，所以很多数学家认为所有的数字都是有限小数，希帕索斯首先提出了二的算术平方根的概念，并发现世界上有一类数字是无限的无循环小数，但当时科学界对此予以否认。
第二，微积分理论
微积分是世界数学史上的一大荣耀。微积分使用无穷小的概念来解决许多无法解决的问题。特别是对于复杂图形，它具有强大的求解功能，但当微积分首次提出时，理论非常复杂，在当时的数学中并没有被广泛接受。
第三，罗素悖论
罗素悖论是集合论中的一个悖论，世界上所有的对象都可以用集合来表示，但罗素指出，如果集合中的所有元素都不是他的原始元素，那么这样的集合是否仍然可以表示为原始集合就叫做罗素悖论，这是数学家修改集合的定义规则所避免的。
第四，费马大定理
费马大定理中有一个猜想，当整数n ^ 2时，关于x，y，z ^ y和z的不定方程x ^ n ^ y ^ n=z ^ n没有正整数解。这样一个看似简单的地理，后来被后世许多人证明，最终证实了费马大定理的成立，这是数学史上一个伟大的猜想。
五色和四色定理
四色定理表明，如果许多国家在一个点周围有许多边界，所有国家都可以用四种颜色来区分。四色定理是二维空间的终极解释，它还表明如果两条直线相交，必然有四个区域。
6.哥德巴赫猜想
哥德巴赫推测，如果1被视为素数，那么世界上任何大于2的数都可以通过加三个素数得到。后来，科学家经过艰难的计算，得出了哥德巴赫猜想。